Rigorózní práce Kurzweilův-Stieltjesův integrál a jeho zobecnění
V předložené práci se zabýváme \( HKS_{\alpha}^{p} \) integrálem, který je zobecněním HKS integrálu, jeho vlastnostmi a pojmy obyčejná oscilace a p-oscilace, které jsou potřebné k jeho vybudování. Tento integrál je neabsolutně konvergentní a obecnější nežli Lebesgueův integrál. Práce navazuje na nedávné výsledky v oblasti teorie integrálů a jejím cílem je přiblížit tento nový integrál co nejširšímu okruhu zájemců o matematickou analýzu.
Řešení práce (obhájeno dne 6.6.2023)
Bakalářská práce Neabsolutní konvergence Newtonova integrálu (CZ/ENG)
Obsahem mé práce bylo hledání nutných a postačujících podmínek pro neabsolutní konvergenci Newtonova integrálu funkce tvaru sin(φ(x))/x pro spojité neklesající funkce φ s limitou v nekonečnu nekonečno. Zkoumal jsem především jak oscilace sinu ovlivňuje konvergenci integrálu. Dokázal jsem, že bilipschitzovskost funkce φ není postačující podmínkou pro konvergenci. Nicméně, dokázal jsem několik trvzení o postačujících podmínkách pro konvergenci daného integrálu. Hlavním přínosem mé práce byla Věta 7, kterou jsem zde formuloval a dokázal. Díky této větě je možné rozhodnout o konvergenci a dokonce i o divergenci Newtonova integrálu funkcí tvaru ψ(x)/x, kde ψ je spojitá periodická funkce. Znění věty je následující.
Věta - Vztah periodicity a konvergence Newtonova integrálu II
Nechť \(\psi \) je \( \underline{2p-periodická} \) \( \underline{spojitá} \) funkce na \( \mathbb{R} \), potom
\[ \begin{equation*} \int_{1}^{\infty} \frac{\psi(x)}{x} \,dx\, \, \text{konverguje} \Leftrightarrow \int_{-p}^{p} \psi(x)\,dx\, =0. \end{equation*} \]
Řešení práce (obhájeno dne 7.2.2019)