Publikace
Generalized Kurzweil-Stieltjes integrals
Zabýváme se třídami zobecněného Kurzweil–Stieltjesových integrálu na reálné ose, motivovanou prací Malého a Kuncové (2019). Naše zobecnění je založeno na pojmu p-oscilace namísto běžné oscilace, která byla klíčovým pojmem v jejich definici. Protože Kurzweil–Stieltjesův integrál lze ekvivalentně definovat pomocí běžné oscilace, spočívá naše zobecnění v použití p-oscilace namísto obyčejné oscilace a α-systémů namísto dělení intervalu. Tyto změny vedou k širším třídám integrovatelných funkcí. Klíčové pojmy, jako p-oscilace a p-medián, jsou podrobně diskutovány. Zavedené integrály jsou neabsolutně konvergentní a zahrnují jak Lebesgueův, tak Henstock–Kurzweilův integrál. Naše hlavní výsledky se týkají například jednoznačnosti neurčitých zobecněných integrálů a závislosti tříd integrovatelných funkcí na parametrech p ∈ [1,∞) a α ≥ 1. Na závěr je uvedena analogie známé Hakeovy věty.
Medián a p-mediány (publikováno v International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations – QUALITDE-2024)
V tomto článku zavádíme definici p-mediánu měřitelné funkce, který je klíčovým pojmem při definici p-oscilace a zobecněného Kurzweilova integrálu. Tento nový integrál je založen na minimalizaci součtů p-oscilací namísto obyčejných oscilací, což vede k širší třídě integrovatelných funkcí. Jeho definici uvádíme v oddílu 4.
Není však zřejmé, jak vypočítat p-oscilaci dané funkce. To nás přivádí k otázce, zda je možné klasifikovat p-mediány dané funkce pro libovolné p. Tuto otázku dokážeme zodpovědět pro případy p = 1, p = 2 a p = ∞.
Definice p-mediánu
Nechť I ⊆ ℝ je omezený interval, p ∈ [1,∞] a f ∈ Lp(I) je měřitelná funkce. Řekneme, že číslo c(p) ∈ ℝ je p-mediánem funkce f na intervalu I, právě když platí:
infc ∈ ℝ ‖f − c‖p = ‖f − c(p)‖p
Jinými slovy, p-medián je taková hodnota c(p), pro kterou norma ‖f − c‖p nabývá svého minima.
Závěrečné práce Rigorózní práce Kurzweilův-Stieltjesův integrál a jeho zobecnění
V předložené práci se zabýváme \( HKS_{\alpha}^{p} \) integrálem, který je zobecněním HKS integrálu, jeho vlastnostmi a pojmy obyčejná oscilace a p-oscilace, které jsou potřebné k jeho vybudování. Tento integrál je neabsolutně konvergentní a obecnější nežli Lebesgueův integrál. Práce navazuje na nedávné výsledky v oblasti teorie integrálů a jejím cílem je přiblížit tento nový integrál co nejširšímu okruhu zájemců o matematickou analýzu. (obhájeno dne 6.6.2023)
Bakalářská práce Neabsolutní konvergence Newtonova integrálu
Obsahem mé práce bylo hledání nutných a postačujících podmínek pro neabsolutní konvergenci Newtonova integrálu funkce tvaru sin(φ(x))/x pro spojité neklesající funkce φ s limitou v nekonečnu nekonečno. Zkoumal jsem především jak oscilace sinu ovlivňuje konvergenci integrálu. Dokázal jsem, že bilipschitzovskost funkce φ není postačující podmínkou pro konvergenci. Nicméně, dokázal jsem několik trvzení o postačujících podmínkách pro konvergenci daného integrálu. Hlavním přínosem mé práce byla Věta 7, kterou jsem zde formuloval a dokázal. Díky této větě je možné rozhodnout o konvergenci a dokonce i o divergenci Newtonova integrálu funkcí tvaru ψ(x)/x, kde ψ je spojitá periodická funkce. Znění věty je následující.
Věta - Vztah periodicity a konvergence Newtonova integrálu II
Nechť \(\psi \) je \( \underline{2p-periodická} \) \( \underline{spojitá} \) funkce na \( \mathbb{R} \), potom
\[ \begin{equation*} \int_{1}^{\infty} \frac{\psi(x)}{x} \,dx\, \, \text{konverguje} \Leftrightarrow \int_{-p}^{p} \psi(x)\,dx\, =0. \end{equation*} \]
Řešení práce (obhájeno dne 7.2.2019)